Giải bài 13, 14 trang 72 SGK Toán lớp 9 tập 2

Bài 13 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 13. Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Giả sử \(AB\) và \(CD\) là các dây song song của đường tròn \((O)\).

Kẻ \ ( OI \ bot AB \ ) \ ( ( I \ in AB ) \ ) và \ ( OK \ bot CD ( K \ in CD ) \ ) .
Do \ ( AB / / CD \ ) nên \ ( I, O, K \ ) thẳng hàng .
Do những tam giác \ ( OAB, OCD \ ) là những tam giác cân đỉnh \ ( O \ ) nên những đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác .
Vì vậy ta có : \ ( \ widehat { { O_1 } } = \ widehat { { O_2 } } = \ widehat { { O_3 } } = \ widehat { { O_4 } } \ )
Giả sử \ ( AB \ ) nằm ngoài \ ( \ widehat { COD } \ ), ta có : \ ( \ widehat { AOC } = { 180 ^ 0 } – \ widehat { { O_1 } } – \ widehat { { O_3 } } = { 180 ^ 0 } – \ widehat { { O_2 } } – \ widehat { { O_4 } } = \ widehat { BOD } \ )
Suy ra \ ( \ overparen { AC } \ ) = \ ( \ overparen { BD } \ ) .

Nghĩa là hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Các trường hợp khác ta chứng minh tương tự.

Bài 14 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 14 

a ) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề hòn đảo có đúng không ? Hãy nêu thêm điều kiện kèm theo để mệnh đề hòn đảo đúng .
b ) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

Hướng dẫn giải:

a. Vì \ ( I \ ) là điểm chính giữa của \ ( \ overparen { AB } \ ), suy ra \ ( \ overparen { IA } \ ) = \ ( \ overparen { IB } \ ) \ ( ⇒ IA = IB \ )

Ta có: \(OA = OB =\) bán kính. Suy ra đường kính \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Vậy \(HA = HB\) (đpcm)

Mệnh đề hòn đảo : Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó .
Chứng minh : Vì \ ( ∆ AOB \ ) cân tại \ ( O \ ) và \ ( HA = HB \ ) nên \ ( OH \ ) là đường phân giác của góc \ ( \ widehat { AOB } \ ). Suy ra \ ( \ widehat { { O_1 } } = \ widehat { { O_2 } } \ )
Từ đó suy ra \ ( \ overparen { IA } \ ) = \ ( \ overparen { IB } \ )
Tuy nhiên điều này không hề xảy ra khi dây \ ( AB \ ) đi qua tâm \ ( O \ ) của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện kèm theo để mệnh đề hòn đảo đúng là :
Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó .
b. Ta có : \ ( \ overparen { IA } \ ) = \ ( \ overparen { IB } \ ) ( gt ) \ ( ⇒ IA = IB \ )
Điều này chứng tỏ rằng điểm \ ( I \ ) nằm trên đường trung trực của \ ( AB \ ) ( 1 )
Ta có \ ( OA = OB = \ ) nửa đường kính
Điều này chứng tỏ rằng điểm \ ( O \ ) nằm trên đường trung trực của \ ( AB \ ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) chứng tỏ rằng \ ( OI \ ) hay \ ( IK \ ) là đường trung trực của dây \ ( AB \ ). Suy ra \ ( IK \ bot AB \ ) .
* Điều ngược lại : Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó .
Kẻ đường kính \ ( KOI \ ) vuông góc với \ ( AB \ ) .
Ta có \ ( OA = OB ⇒ ∆ OAB \ ) cân tại \ ( O \ )
Mà \ ( OH \ bot AB \ ) nên \ ( OH \ ) là đường phân giác của \ ( \ widehat { AOB } \ ) suy ra \ ( \ widehat { { O_1 } } = \ widehat { { O_2 } } \ )

Ta có \(∆OAI = ∆OBI\) (c.g.c). Do đó \(AI = IB\). Suy ra \(\overparen{AI}\) = \(\overparen{IB}\).

Vậy \ ( I \ ) là điểm chính giữa của \ ( \ overparen { AB } \ )

Giaibaitap.me

Source: https://thanhlybanghevanphong.com
Category: Học tập